e zeszyt: Obliczanie numeryczne

Całkowanie numeryczne – metoda numeryczna polegająca na przybliżonym obliczaniu całek oznaczonych. Termin kwadratura numeryczna, często po prostu kwadratura, jest synonimem całkowania numerycznego, w szczególności w odniesieniu do całek jednowymiarowych. Dwu- i wyżejwymiarowe całkowania nazywane są czasami kubaturami, choć wyraz kwadratura również niesie to znaczenie dla całkowania w wyższych wymiarach.

Metoda prostokątów:

Prawdopodobnie najprostszym wzorem jest metoda punktu środkowego (midpoint rule):

$\int\limits_{x_*}^{x_*+h} f(x) dx \approx h f\left( x_* + \frac h 2 \right)$

Jeśli funkcja $f(x)$ zmienia się w niewielkim stopniu na przedziale $(x_*, x_*+h)$ , reguła taka da dobre przybliżenie całki.
Integration rectangle.png

Metoda trapezów:

Metoda trapezów polega na tym, że figurę ABCD zastępujemy figurą złożoną z trapezów wpisanych, tzn. krzywą aproksymujemy linią łamaną w nią wpisaną. Przedział całkowania $(a,b)$ dzielimy przy tym na $n$ równych części o długościach:

$h:=\frac{b-a}{n}$ .

Punktami podziału (końcami części) są wówczas:

$x_i = a+(i-1)h, \quad i=1\dots n+1.$

Wówczas pole figury złożonej z trapezów wynosi

$S_{n}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}h+\frac{y_{2}+y_{3}}{2}h+...+\frac{y_{n}+y_{n+1}}{2}h=h\left(\frac{y_{1}}{2}+y_{2}+y_{3}+...+y_{n}+\frac{y_{n+1}}{2}\right)$

gdzie

$y_{i}:=f(x_{i})$ – wartości funkcji w punktach podziału.

Stąd otrzymujemy wzór przybliżony w metodzie trapezów:

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx \approx h\left(\frac{y_{1}}{2}+y_{2}+y_{3}+...+y_{n}+\frac{y_{n+1}}{2}\right) = \frac{h}{2}\sum_{i=1}^{n}\left(f(x_{i})+f(x_{i+1})\right)$

Oszacowanie błędu tej metody wynosi

$R_{n}:=\left|\int\limits_{a}^{b}f(x)dx-S_{n}\right|\leq{\frac{(b-a)^{3}M^\prime{'}}{12n^{2}}}$

gdzie: $M^\prime{'}:=\max_{\langle a,b\rangle}|f^\prime{'}|$

Calkowanie numeryczne-metoda trapezow.png

piątek, 21 marca 2014

Obliczanie numeryczne

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz